空间向量基本定理怎么证明-空间向量基本定理的疑惑

本文共计8000个文字，预计阅读时间需要26分31秒，由作者编辑整理创作于2023年09月01日 11点19分56秒。

空间向量基本定理怎么证明?

空间向量基本定理是指任意三个非共线的向量可以构成一组基。证明 *** 可以通过假设三个向量为a、b、c，然后证明它们线性无关，即不存在非零实数k1、k2、k3使得k1a+k2b+k3c=0。

通过假设k1a+k2b+k3c=0，推导出k1=k2=k3=0，即证明了线性无关性。由于三个向量线性无关，所以它们可以构成一组基，即空间向量基本定理成立。

空间向量基本定理的疑惑

已知三向量a,b,c，则空间任意一个向 量p总可以惟一表示为p=xa+yb+zc

“唯一”问题，0向量有无数种 *** 表示成xa+yb+zc的形式，不符合定理啊

简单分析一下，详情如图所示

下面分享相关内容的知识扩展：

五年高考真题分类训练数学第四章平面解析几何初步及16章空间向量与立体几何答案。100分！！急急急！

活页答案！急！！！！
目前的新标准高中数学教材（教A版）

[编辑本段]
数学必修1

1个 ***

（约4小时）
（1）所指的收集和整理
①例如，了解收集的意义和体验的元素和 *** 的“属于”关系。
（2）能够选择一种自然语言，图形语言， *** 语言（列举法描述法）描述的具体问题，感受的 *** 语言的意义和作用。
（2） *** 之间的基本关系。
①理解 *** 之间的包含相同的含义，能识别给定 *** 的子集。
（2）具体情况，了解空集全集的意义。
（3）的 *** 的基本运算
①两套了解和意义的交汇点，会问两个简单 *** 的交集。
②理解的含义中的给定 *** 的补集的一个子集，将要求对于一个给定的补集的子集。
维恩图（3）可以用来表达 *** 的关系及运营经验直观的图标的作用的理解抽象的概念。

函数概念与基本初等函数我

（约32小时）
（1）功能
①进一步了解其功能描述变量之间的依赖关系的数学模型，根据学习的特点收集相应的语言功能，体验的对??应关系特征函数概念理解的元素构成的功能将寻求一个简单的函数的域，范围;了解映射的概念。
（2）在实际的情况下，根据需要选择适当的 *** （如图像的 *** ，该 *** 的列表中，分析 *** ）表示的函数。
③了解简单的分段函数，和简单的应用程序。
（4）功能，特别是二次函数，理解单调性，更大（小）值，其几何意义，具有特定功能的结合，了解奇偶性的含义。
⑤学习如何使用图像理解和研究函数的性质（见例1）的功能。
（2）的指数函数
①（细胞分裂，衰减考古C药物残留量的变化在人体等），了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义，通过具体的例子来理解的实数指数幂的意义，掌握计算的力量。
（3）理解指数函数的概念和意义，用计算器或电脑绘制特定的指数函数的图像的帮助下，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④解决简单的实际问题的过程中，体验指数函数是一类重要的函数模型（见例2）。
（3）对数函数
①理解的概念和其操作的数目的性质，知道，与变化的基本配方的一般对数转化为自然对数，或常用;理解通过阅读材料的数量产生的历史，以及简化操作。
（2）的对数函数模型的直观的理解，并通过具体的例子，示出的数量之间的关系，一个对数函数的概念的一个初步的认识，体验到的是对数函数的一个重要的功能模型;特定的对数函数的帮助下一个计算器或计算机绘制图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
（3）要知道的指数和对数函数（a> 0时，≠1）相反的功能。
（4）的幂函数
实例，了解幂函数的概念;结合图像的功能，和理解的变化。
（5）函数与方程
①结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在和数量的根源，理解函数的零方程根接触。
②根据的图像通过一个计算器二分法近似解，相应的公式来理??解这种 *** 的具体功能，是一种常见的 *** 近似解的方程。
（6）函数模型及其应用
（1）使用的计算工具，比较指数函数，对数函数，幂函数增长差异;合并的实例欣赏直线上升，指数爆炸增长的数量增长函数类型含义。
②收集了一些常用的功能在社会生活中的模型（指数函数，对数函数，幂函数，子功能）例如，广泛用于了解函数模型。
（7）实习工作
根据主题，收集信息，或在17世纪之前和之后发生的历史事件，在数学和人物的发展发挥了重要作用（开普勒，伽利略，笛卡尔，牛顿，莱布尼兹，欧拉等）生活的现实函数实例，采取团队合作的方式，写一个函数概念的形成，发展或应用的文章，在课堂上沟通。具体要求参见数学文化的要求。
[编辑本段]
数学必修2

1立体几何初步

（约18小时）
（1）空间几何
（1）使用的物理模型，并观察到了很多的空间图形计算机软件，了解柱，锥，台，球，它是一个简单的组合体，并能利用这些特性来描述的结构的结构特点，在现实生活中的简单对象。
简单的空间图案（矩形，球体，气缸，圆锥，棱柱，（2）可以得出）的简单组合，查看，能够识别这三个视图的三维模型所表示的，将使用的材料（如硬纸板）生产模型将被用于斜 *** 国吸引他们的直观图。
③通过观察这两种 *** （平行投影和中心投影）的看法空间图形可视化地图绘制不同的表现。
（4）完成实习工作视图可视化地图的一些建筑物，如抽奖（不影响图形功能的基础上的大小，行等方面都没有严格的要求）。
⑤学习球，棱柱，棱锥，表面面积和体积的站（没有所需的内存公式）的计算公式。
（2）之间的点，线，面的位置关系
（1）与长方体模型，直观的认识和理解空间点，线，面的位置关系的基础上定义的抽象空间，线，面的位置关系，并理解下列可作为公理和定理的基础上推理。
◆公理1：如果在一个平面上的一条直线上的两个点，然后在此平面上这条线。
太◆公理2：是不是在一条直线上的三个，并仅在一个平面。
◆公理3：如果两个不重叠的飞机有一个共同的点，那么他们有一个且只有一个在一个公共的点线。
◆公理4：相同的直线平行的两条直线平行。
◆定理：如果两个边缘的两个角，分别对应的平行的空间，那么这两个角度是相等的或互补的。
（2）立体几何的上述定义，公理和定理为出发点，通过直观感知，操作确认投机性的论证，认识和理解空间中线面平行，垂直性质的判断。
操作确认后，总结了以下判断定理。
◆平面a平行于该直线与在此平面上的直线，则该直线与平行于该平面。
◆两个彼此平行的平面相交的平面内的直线，这两个平面平行。
◆一个两个相交的直线与垂直的平面内的线，这时该直线与垂直于该平面。
◆通过另一平面的垂线的平面，垂直于两个平面。
操作确认，归纳起来有以下性质定理和证明这一点。
◆该平面和平行于该直线的交点与线平行的平面内的一条直线，直线，超过中任一项的直的平面。
◆的两个平面平行于一个平面上，则由此产生的任何线彼此平行地与这两个平面的交点的交点。
◆垂直平行的同一平面内的两条直线。
◆两个平面垂直，与另一平面垂直的直线的交点的线垂直的平面中。
③能证明一些简单的命题，利用所得到的结论之间的空间关系。

平面解析几何初步

（约18小时）
与方程（1）的直线
平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索几何元素，以确定直线位置。
②理解的倾斜角的概念和斜率的直线，用代数的 *** 的经验描绘通过两个点计算出的斜率的直线的斜率，主过程。
③可确定平行或垂直的斜率的两条直线。
（4）确定直线位置的几何元素，探索和掌握线性方程组（斜坡点，双点和一般），欣赏斜截式的线性函数的几种形式。
⑤方程组的解可以被用来寻求的两条线的交点的点的坐标。
⑥探索和掌握两点公式，点到直线的距离公式之间的距离，两条平行线之间的距离将乞讨。
圆与方程（2）
①审查，以确定圆的几何元素在直角坐标系中，探索和掌握圆的标准方程与一般方程。
（2）根据给定的行的，圆的方程，它判断一条直线的位置关系和一个圆形，圆形和圆。
③直线和圆的方程可以用来解决一些简单的问题。
（3）在学习过程中的初始平面解析几何，欣赏的想法？用代数 *** 处理几何问题。
（4）空间直角坐标系
①通过的具体情况，感觉有必要建立空间直角坐标系，理解空间直角坐标系中，空间直角坐标系中的位置描绘点。
（2）通过所述特殊长方体（所有边缘都平行于轴线）的顶点坐标，探索并绘制在两个点之间的空间距离公式。
[编辑本段]
数学必修3

1。初步算法

（关于12小时）
（1）的算法的含义，该方框图
①通过分析的过程和步骤，解决具体问题（如双线性方程组求解）欣赏的想法？的算法的算法明白它的意思。
（2）通过模拟的操作，探索和表达解决问题的过程中体验的设计框图。具体问题的解决过程（如三元线性方程组求解问题），框图的三种基本逻辑结构：顺序，条件分支，循环的理解。
的基本思想？的过程中，（2）基本算法语句：框图程序语句的具体问题纳入的经验，了解几个基本算法语句 - 输入语句，输出语句，赋值语句，条件语句，循环，以更好地理解算法。
（3）读中国古代数学算法的情况下，欣赏中国古代数学在世界数学发展的贡献。

2统计

（约16小时）
（1）随机抽样
①从现实生活中还是在其他学科中的统计问题，具有一定的价值。
②结合具体的实际问题的情况下，了解随机抽样的必要性和重要性。
③学会从总体中抽取样本采用简单随??机抽样 *** 分层抽样和系统抽样的 *** ，例如，了解参与解决统计问题的过程。
④通过测试，数据访问，设计调查问卷收集数据。
（2）样本估计总体
①通过实例欣赏的分布的意义和作用，表示样本数据，要学会排频数分布表，画频率分布直方图，频率，线图，茎和叶图（见例1），了解他们的特点。
（2）实例了解的样本数据的标准差的意义和作用，学会计算标准差的数据。
③能够选择样本，从样本数据中提取合理的基本数字特征（如平均数，标准差）的实际问题的需要，并提供一个合理的解释。
④解决统计问题的样本估计的总体思路，进一步的经验，会用样本的频率分布估计的人口分布，基本数字特征的样本估计总体的基本数字特征的样本频率分布的初步经验数字化功能的随机性。
⑤将使用随机抽样 *** 和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题，提供一些基础的合理决策的数据，通过分析，认识统计的作用，体会统计思维和确定性思维的差异。
（6）形成的初步评估数据处理的意识。
（3）的相关的变量
①通过收集实际问题中的两个相关变量数据的散点图，散点图直观的了解变量之间的关系。
②所经历的不同的估算 *** 描述两个变量的线性相关性的过程。知道的想法？最小平方线性回归方程（参见实施例2）的 *** ，可以根据给出的公式中的系数的线性回归方程成立。

3。可能性

（关于8小时）
（1）中的具体情况，了解随机事件的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率和概率之间的差异。
（2）了解两个互斥事件的加法公式实例的概率。
（3）实例，理解古典概型的概率公式计算的基本枚举法的事件和事件中包含一些随机事件的概率。
（4）了解随机数的意义，使用模拟 *** （包括计算器产生随机数来模拟）通常是指（见例3），初步体验到几何概率的估计。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
[编辑本段]
数学必修4

1三角函数

（约16小时）
（1）在任何角度，弧度
任何角度的概念和弧度，弧度角度彼此的了解。
（2）三角函数
（1）在单位圆理解任意角的三角函数（正弦，余弦，正切）的定义。
②三角函数系的诱导公式（正弦，余弦，正切值）的单位圆，可以绘制图像，了解三角函数的周期性特点。
（3）与正弦函数，余弦函数，正切函数的性质（如单调性，更大和最小的值，与x轴的交点，点等的图像）的图像的理解。
（4）了解同角三角函数的基本关系：
⑤与一个具体的例子，来了解实际的意义;描绘一个计算器或计算机图像的帮助观察参数A，ω的图像变化的功能上的影响。
⑥三角函数解决简单的实际问题，实现三角函数的一个重要功能模型描述周期现象。

2平面向量

（关于12小时）
（1）平面向量的背景和基本概念
通过力和力分析实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相同的含义，理解向量的几何。
向量线性操作（2）
①主向量加法，减法，并了解其几何意义。
②掌握向量乘法运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③理解向量的线性算子的性质及其几何意义。
（3）平面向量基本定理的坐标
（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标。
③坐标平面上的向量加法，减法，乘法和 *** 号码。
④理解平面向量的坐标表示的线路条件。
（4）平面矢量绘图
①“权力”在物理理解的意义，它的物理意义的平面矢量绘图的例子。
②经验平面向量的标量积向量投影的关系。
③主站的标量积，平面向量积计算的数的坐标表达。
（4）能够使用的情节的数目表示两个向量之间的角度，标量积确定的向量的两个平面的垂直关系。
（5）应用的载体
经验丰富的向量 *** 解决某些简单的平面几何问题，力学问题与其他一些实际问题，经验向量处理几何问题，身体问题，如工具，计算能力和解决实际问题的能力发展。

三角函数的转变。

（关于8小时）
（1）的经验用数的向量积的角的余弦公式推导的过程中，以更好地理解的矢量 *** 的作用。
（2）从出口角差的余弦公式的角落和差的正弦，余弦，正切公式，两次角度的正弦，余弦，正切公式，了解他们的内部关系。
（3）利用上述公式导出简单的身份转换（包括引导区和穷人，穷人的情节，半角公式，但不要求记忆）。
[编辑本段]
数学必修5

解决方案三角形

（关于8小时）
（1）通过任何三角形的边长和角度之间的关系的探索，掌握正弦定理，余弦定理，措施和解决一些简单的三角形问题。
（2）用法律的正弦和余弦规律的知识和 *** 解决一些与测量和几何的实际问题的能力。

系列

（关于12小时）
（1）数列和简单的符号的概念
了解该系列的概念和几个简单的表示法（列表，图像，通项公式），该系列产品是一种特殊的功能。
（2）的等差级数，几何序列
①理解等差数列，等比数列的概念。
②探索并掌握等差数列等比数列的通项公式，前n项和公式的。
③特定问题的情况下，发现了一系列的运算关系或几何关系，可以使用相应的相关知识来解决这个问题（见实施例1）。
④经验等差数列，等比数列和时间函数，指数函数。

3。不等式

（约16小时）
范围从（1）之间的关系
感情存在于现实世界和日常生活中，从大量的关系，不等式（组）的背景。
（2）二次不等式
二次不等式模型的过程抽象的实际情况①经验。
②接触约一元二次不等式与相应的函数方程的函数图像。
③将在给定的二次不等式的解二次不等式尝试框图的设计解决方案。
（3）二元一次不等式组与简单的线性规划问题
从实际情况抽象二进制的不平等。
②了解二元一次不等式的几何意义，平坦的区域代表二进制的不等式（见例2）。
③抽象的，可以解决一些简单的二元线性规划问题的实际情况（见例3）。
（4）基本不等式：
①探索和了解不平等的基本过程。
②将使用??基本不等式解决简单的更大（小）值（见例4）。
[编辑本段]
数学选修

选修2-1

用逻辑术语（约8小时）
（1）命题及其关系
①了解命题的逆命题，无论命题的逆否命题。
②了解的必要条件和充分条件和必要条件和充分条件具有重要意义，将四个命题之间的关系进行分析。
（2）一个简单的逻辑连接词
理解的“或”字的含义和“非”之间的逻辑连接。
（3）全称量词和存在量词
①理解全称量词和存在量词的意义。
②正确地的命题包含一个量词否定。
二次曲线与方程（16小时）
（1）二次曲线
①了解圆锥曲线的实际背景，经验锥刻画现实世界和解决实际问题。
②经验抽象出来的??具体情况，椭圆，抛物线模型的过程，掌握自己的定义，标准方程，几何形状和简单的性质。
（3）了解双曲几何的定义和标准方程，知道双曲线的性质。
④坐标法可以用来解决一些简单的几何问题与圆锥曲线（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤通过圆锥曲线的学习，以更好地理解的思想，数形结合。
曲线与方程（2）
了解曲线方程的对应关系进一步感到数形结合的基本思路。
空间矢量和三维几何形状（约12小时）
（1）的空间矢量和其操作
①经验丰富的矢量和从两维空间中，以促进其业务的过程。
②了解空间向量空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标的概念。
③主空间向量的线性算子和它的坐标。
④主空间矢量的标量积和它的坐标，可以使用向量的标量积，向量共线的垂直，以确定。
（2）的空间矢量的应用程序
①理解直线的方向矢量与平面的法线矢量。
②可以使用向量语言表达的线上线下，线，面，面面垂直，平行关系。
③可以通过矢量法证明的线之间的关系中的一些，该面位置定理（包括三个相互垂直的定理）（见实施例1，实施例2，实施例3）。
④线线，线，面，面面的角度可以是矢量的 *** 来解决计算问题的经验向量 *** 研究几何问题中的作用。
参考案例
实施例1。已知直三角棱镜∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，M是肋中点。证明：
实施例2。已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，AD是一个通用的边缘，但它们不是在同一平面上。点M，N，分别的对角线上的BD，AE，和。
证明：MN∥平面CDE。
实施例3。已知的单位立方体，E，F，分别是肋骨的中点。查找：
（1）和EF成角，（2）由AF与平面形成的角度，（3）的大小的二面角。

选修2-2

导数及其应用（约24小时）
（1）的概念的衍生物和它的几何意义
①通过分析大量的实例，所经历的平均过渡到在这个过程中的变化的瞬时速率的变化率，以了解衍生物的概念的实际背景，知道的瞬时变化率是衍生欣赏（选修1-1案例2，例3）衍生工具的想法和意图。
（2）函数图像直观地理解导数的几何意义的。
（2）衍生金融工具的操作
①根据衍生物和的函数的导数的定义。
的衍生物的衍生物，式（2）可以利用给定的基本初等函数的导数的四个算法寻求简单的功能衍生物可以询问简单的复合函数（限于表格）。
③将使用导数公式表。
（3）衍生的学习功能
①指的几何探索和认识的单调关系，导数的函数（见选修1-1案例4），导函数的单调性，单调区间，会求多项式函数不超过3个。
②与所述图像的功能相结合，该函数被封闭在某一点上的必要和充分的条件极值;很有价值的不超过3倍，最小值，和不超过3倍的衍生物和多项式函数来实现区间多项式函数的更大值，最小值;欣赏的导数研究函数的性质一般的 *** 和成效。
（4）生活中的优化问题的例子。
例如，更大的利润，材料最省，效率更高等优化问题的经验，在解决实际问题的选修1-1的情况（见例5）衍生工具的作用。
（5）定积分与微积分基本定理
（1）解决的曲边梯形面积，变力作用，了解定积分的实际背景的问题的情况下，装置的几何欣赏的基本思路定积分的概念，初步了解？定积分。
②可变高速运动物体在一定期限内的时间，速度和距离的关系，直观地了解微积分基本定理（见例1）的意思。
推理与证明（约8小时）
（1）合情推理和演绎推理
①了解合情推理在数学发现（参见选修1-2案例2例3）使用简单的推理，归纳和类比的经验和理解的推理的意义。
②欣赏的演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并可以使用它们来进行一些简单的推理。
③通过具体的例子来理解合理的推理和演绎推理之间的联系和区别。
（2）直接证据和间接证据
①了解直接证明的两种基本 *** ：分析和综合的 *** ，了解，分析和综合的 *** 的思维过程，特点。
②了解间接证明 - 反证法的基本 *** ，理解的思维过程，归谬法的特点。
（3）数学归纳法
理解数学归纳法的原则，我们可以用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
（4）数学文化
通过引进的情况下（如欧几里得“几何原本”，马克思的“资本论”杰斐逊的“独立宣言”，牛顿定律），欣赏的公理化思想。
（2）描述中的计算机自动推理领域和数学证明中的作用。
数字系统的引入的多个扩展（约4小时）
（1），以了解在有问题的情况下扩展的行数的过程中，在扩展过程中的行的数目的实际需求和数学内部矛盾（计算的数量的规则和方程理论）的经验，感觉的作用以及人类理性思维的现实世界的接触。
（2）了解基本概念的复杂，以及复杂平等的必要条件和充分条件。
（3）了解复杂的 *** 的代数表示和几何意义。
（4）复杂的代数形式的复数的代数形式的除了四则运算，减法运算的几何意义。 。
参考案例
实施例1。按照运动规律的直线上的对象，我们已经知道，时间的导数，即在某一时刻的运动速度（即瞬时速度或瞬时变化率）。这方面的考虑之间的总的变化。间隔被分成n个小区间，可以假定小区间的长度相等，其长度是。我们假设的变化率近似为一个常数，因此，我们可以说，在每个小的时间间隔，
×时间的变化率。
来自之一小范围内，即，假设的变化率约，所以
类似地，第二子区间，即从假设的变化率约因此
等。由此产生的变化的位置的所有的小区间的近似全部相加得到
s的总变化
我们可以写之间的位置，以总的变化。另一方面，当除以无限加细?趋向于无穷大，并且该类型
的定积分的极限，即，在总的变化之间的位置上。因此，我们可以得到以下结论：
也就是说，的总的变化中的变化率的定积分。
特别是，当在匀速运动的对象，实时，
当用匀加速运动的一个目的，即，（它是恒定的），

高中数学，空间向量，谢谢解答！

选C，这是空间向量基本定理
注意：向量A`B`=向量AB=向量D`C`，向量DD`=向量AA`，向量BC=向量AD
向量AD`=向量AA`+向量AD
向量AC`=向量AD`+向量D`C`=向量AA`+向量AD+向量D`C`
=向量DD`+向量BC+向量A`B`

空间向量与立体几何思维导图

空间向量与立体几何推广到 (研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)向量渐渐成为重要工具。我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用。

空间向量的基本概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。模长：向量的大小叫做向量的模，a的模长记作￨a￨文中加粗的小写字母均代表向量。空间向量的运算：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法符合三角形法则跟平行四边形法则。

运算率：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)数乘分配率：λ(a+b)= λa+λb。

共线向量：定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或者重合，那么这些向量也叫共线向量或者平行向量共线向量定理：空间任意两个向量a，b，且a≠0，a∥b，存在实数λ，使b=λa。

三点共线：此部分的内容与平面向量的三点共线是一致的，A，B，C三点共线能得到以下两个等式。共面向量：定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量备注：空间内任意的两个向量肯定是共面的，因为向量可以进行平移

共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的条件是存在实数x，y使p=xa+yb四点共面：若A，B，C，D四点共面也可以得到以下两个等式